Poligoni

Problema: Bisogna determinare il numero di possibili configurazioni (poligoni) che si possono ottenere a partire da un poligono regolare (aiuola) unendo dei punti notevoli secondo le seguenti regole:

1 - I punti notevoli si trovano ai vertici e al centro dei lati del poligono.

2 - Il poligono si deve costruire partendo da un punto a piacere e proseguendo in senso orario scegliendo un punto notevole per ogni lato.

Soluzione: Detto P(n) il numero di configurazioni del poligono di n lati, e chiamato con F(m) l'm-mo numero della serie di Fibonacci 0, 1, 1, 2, 3 .., vale la seguente relazione P(n) = F(n+1) + 2F(n).

Spiegazione: Scegliamo, su un lato del poligono, inizialmente il punto medio. Il numero di configurazioni, partendo da quel punto, è uguale a quello che si ottiene unendo, seguendo le regole, i punti della poligonale aperta di n-1 lati che, a sua volta, sarà uguale al numero di configurazioni della poligonale aperta di n-2 lati (se si unisce il punto centrale del primo lato) più il numero di configurazioni della poligonale di n-3 lati (se si unisce il punto di vertice del primo lato). Detto C(n) il numero di configurazioni per una poligonale di n lati, Varrà perciò C(n) = C(n-1) + C(n-2). Si vede subito che C(n) è legato al numero della serie di Fibonacci, e, poiché è immediato vedere che C(1) = 1 e C(2) =2, deve essere C(n) = F(n+2).

Nel caso si scelga, anziché il punto centrale del lato del poligono, un suo vertice, il numero di configurazioni è C(n-2) perché il vertice appartiene a 2 lati e resta una poligonale aperta di n - 2 lati.

Prendendo in esame tutti i 3 punti del lato del poligono si ottiene P(n) = C(n-1) + 2C(n-2) = F(n+1) + 2F(n).