Alice ha invitato a teatro Rudi e Piotr con la speranza che venga estratto almeno uno dei loro biglietti dei 6 che vengono estratti ad ogni rappresentazione.
I possessori dei biglietti estratti vincono una cena con gli attori.
Il teatro contiene 750 persone e la probabilità di finire tutti e tre a brindare con Oberon e Ippolita è davvero infima.
1° quesito
Qual è la probabilità che escano tutti e tre i biglietti?
Risposta:
I casi favorevoli sono dati dalle combinazioni dei 747 biglietti (i rimanenti tolti quelli di Alice) a 3 a 3 (i biglietti estratti oltre quelli di Alice) mentre i casi complessivi sono dati dalle combinazioni di 750 di classe 6.
Indicando con Bin(n,k) il coefficiente binomiale, la probabilità P = Bin(747,3)/Bin(750,6) ≈ 2,8559·10-7
2° quesito
Alice ha altri 20 biglietti, validi per qualsiasi rappresentazione, conviene che utilizzi i 20 biglietti in un'unica sera con 19 amici, o conviene suddividere i biglietti in più serate?
Risposta:
Conviene utilizzare i 20 biglietti in un'unica serata.
Per motivare la risposta consideriamo un caso generale.
Indichiamo con n il numero totale di biglietti, con k il numero di biglietti estratti ogni rappresentazione e con m il numero di biglietti utilizzati in una sera.
In questo caso è più facile determinare la probabilità che non venga estratto alcun biglietto (caso complementare).
Sarà Bin(n-m,k) il numero totale di combinazioni che non contengono biglietti di Alice, perciò la probabilità cercata è
P'm = Bin(n-m,k)/Bin(n,k).
Se i biglietti sono suddivisi per due serate in i e j con m = i + j sarà P'i = Bin(n-i,k)/Bin(n,k) e P'j = Bin(n-j,k)/Bin(n,k) mentre la probabilità che nelle due serate non sia estratto alcun biglietto è data dal prodotto delle probabilità (i due eventi sono indipendenti).
La probabilità che venga estratto un numero di Alice è, nel primo caso Pm = 1 - Bin(n-m,k)/Bin(n,k) mentre nel secondo caso Pij = 1 - P'i·P'j = 1 - Bin(n-i,k)·Bin(n-j,k)/Bin(n,k)2.
Basta dimostrare che P'm < P'i·P'j per qualsiasi i e j tali che m = i + j infatti, data una qualsiasi decomposizione di m si può sempre pensare come ottenuta da una suddivisione binaria ripetuta più volte.
Si noti innanzitutto che P'm = Bin(n-m,k)/Bin(n,k) = [Bin(n-m,k) · Bin(n,k)]/[Bin(n,k)]2 per cui basterà dimostrare che Bin(n-m,k) · Bin(n,k) < Bin(n-i,k)·Bin(n-j,k).
Utilizzando lo sviluppo di Bin(n,k) = [n · (n-1) · ... · (n-k+1)]/ k! si deve dimostrare che
n · (n-1) · ... · (n-k+1) · (n-m) · (n-m-1) · ... · (n-m-k+1) < (n-i) · (n-i-1) · ... · (n-i-k+1) · (n-j) · (n-j-1) · ... · (n-j-k+1).
Riordinando i vari termini abbiamo
n · (n-1) · ... · (n-k+1) ·(n-m) · (n-m-1) · ... · (n-m-k+1) = n·(n-m) · (n-1)·(n-m-1) · ... · (n-k+1)·(n-m-k+1).
Poiché m = i + j si avrà n·(n-m) = n·(n-i-j) = n2 - ni - nj e per l'omologo termine (n-i)·(n-j) = n2 - ni - nj + ij.
Abbiamo quindi che n·(n-m) < (n-i)·(n-j) e analogamente per gli altri termini.
Resta perciò dimostrato che è più conveniente per Alice invitare altri 19 amici la sera successiva per massimizzare la probabilità di avere almeno un biglietto estratto P ≈
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0,15017.
E' possibile effettuare il calcolo della probabilità nei diversi casi